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miércoles, 26 de enero de 2011

Caos y crecimiento logístico

Caos, desorden, sensibilidad... lo qué?

En general tenemos la idea equivocada de que el "caos" es desorden. En realidad un sistema caótico es un sistema extremadamente sensible a sus condiciones en alguna situación, y esto lo vuelve impredecible. La impredictibilidad nos parece desordenada, pero eso tampoco es cierto, del caos en realidad surge orden, pero eso es más complicado y no lo voy a tratar aquí.

Estas son ideas que posiblemente hayan leído muchísimas veces y en la web hay muchísimas excelentes explicaciones de este tipo de fenómenos, así que no me voy a meter en ese asunto. Lo que me interesa es que puedan toquetear y jugar un poco con el caos, esa es la mejor manera de empezar a descubrir que no se trata de una teoría de algún lunático, síno que se trata de una teoría como Dios manda ("Nada más práctico que una buena teoría").

Así que les presento uno de los modelitos matemáticos más simples en los que se ha descubierto un comportamiento caótico. Es el modelo logístico de crecimiento poblacional.

El modelo Logístico

El modelo describe el crecimiento de una población a lo largo de las generaciones. Las poblaciones consideradas y que se ha descubierto que son razonablemente descriptas por el modelo tienen individuos asexuales, como por ejemlo las bacterias. Considera cierta capacidad intrínseca de los individuos para reproducirse cuando no falta alimento (rm, tasa intrínseca de crecimiento per cápita), considera un ambiente con recursos suficientes para que vivan cierta cantidad de individuos (K, capacidad de sostenimiento del ambiente) y una población original a partir de la cual crece que puede ser 1 (N0, tamaño poblacional inicial).

N1 = N0 + (N0 * rm * (1- (N0 / K) ) )

Donde:
N1, es el tamaño de la población (cantidad de individuos) en el tiempo 1.
N0, tamaño poblacional inicial.
rm, tasa intrínseca de crecimiento per cápita.
K, capacidad de sostenimiento del ambiente (también cantidad de individuos).

Aquí abajo hay una tabla con los parámetros donde usted puede modificarlos como le plazca. El gráfico siguiente se construye con los parámetros de la tabla. Juegue con todos los parámetros para descubrir cómo funciona el modelito. Hay dos poblaciones para que pueda comparar dos situaciones en las que por ejermplo sólo cambie un parámetro.

Más abajo le cuento cómo descubrir el caos, primero juegue.

!A jugar!

Poblacion A (azul) Poblacion B (rojo)
Tamano inicial (N0)
Tasa intrinseca de crecimiento (rm)
Capacidad de sostenimiento (K)
Generaciones simuladas

Descubriendo el caos.

El comportamiento caótico se descubre con tasas intrínsecas de crecimiento (rm) superiores a 2.7 (aproximadamente), esto quiere decir que un individuo cuando no le faltan recursos es capáz de seguir vivo y aportar una descendencia de 2.7 individuos a la generación siguiente. Le sugiero para descubrirlo que ponga en las dos poblaciones los mismos parámetros excepto por "rm", donde pondrá por ejemplo 2.7 y 2.71 (la diferencia es de 0.01 / 2.7 = 0,0037, es decir el 0.37%). También puede dejar las "rm" iguales y poner un individuo más en el "K" de una de ellas. Esta diferencia es muy baja, sería prácticamente imposible estimar una diferencia tan pequeña en una población real. Observe lo que ocurre con el tamaño poblacional de las dos poblaciones en la generación 193 por ejemplo (no son demasiadas generaciones cuando se trata de una bacteria).

¿Qué pasó?, cual es la capacidad del modelo de predecir el tamaño de la población futura de bacterias?. Esto es un comportamiento caótico, el modelo es tan sensible con esas rm que el tamaño de la población es impredecible luego de cierto tiempo. Esto se ha comprobado que no sólo sucede con un cálculo matemático, si hacemos el experimento con dos poblaciones exáctamente iguales cuyos individuos tengan esas "rm" en cierto tiempo cada población es completamente diferente apesar de que seamos muy rigurosos en mantener las condiciones estables y eqivalentes en cada población.

Siga jugando por favor, no se deje convencer tan fácil...

Si se queja de que el servicio meteorológico se equivoca mucho en las predicciones de lluvia... le cuento... con un modelo predictor de lluvias fué que descubrieron el caos (Edward Lorenz), le ruego que sea más piadoso con los metoerólogos.

Si llegó hasta aquí y sigue interesado en la demografía y sus vericuetos le ofrezco mirar http://rafamacdonough.blogspot.com.ar/2013/10/logistica-con-competencia.html.